解答例 1

$\displaystyle f(x) = \left(\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{\frac{n}{x}}$ とおく. l'Hospital の定理により, \begin{align*} \lim_{x\to 0}\;\log f(x) &= \lim_{x\to 0}\;\frac{n\bigl(\log(a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x)-\log n\bigr)}{x} \\ &= \lim_{x\to 0}\;n\left(\frac{a_1^x\log a_1+a_2^x\log a_2+\cdots+a_n^x\log a_n}{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}\right) \\ &= n\cdot\frac{\log a_1 + \log a_2 + \cdots + \log a_n}{n} \\ &= \log(a_1a_2\cdots a_n). \end{align*} ここで, 2番目の等式において $$ \frac{d}{dx}\log(a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x) = \frac{a_1^x\log a_1+a_2^x\log a_2+\cdots+a_n^x\log a_n}{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x} $$ を用いた. 指数関数の連続性により, \begin{align*} \lim_{x\to 0}\;f(x) &= \lim_{x\to 0}\;e^{\log f(x)} = e^{\lim_{x\to 0}\log f(x)} \\ &= e^{\log(a_1a_2\cdots a_n)} = a_1a_2\cdots a_n. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日