$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\log\frac{a}{b}$ を証明せよ. ただし, $a$, $b$ を正の実数とする.
解答例 1
l'Hospital の定理により, \begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{a^x-b^x}{x} &= \lim_{x\to 0}(a^x\log a - b^x\log b) \\ &= \log a - \log b = \log\frac{a}{b}. \end{align*} ここで, 1番目の不等式において $$ \frac{d}{dx}(a^x-b^x) = a^x\log a - b^x\log b $$ を用いた.
最終更新日：2011年11月02日