解答例 1

平面の極座標変換 $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta $$ によって, $$ E = \{ (r, \theta)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\leq r\leq a,\, 0\leq\theta\leq 2\pi \} $$ は $D$ に対応する. その変換の Jacobi 行列式を計算すると, $$ \begin{vmatrix} x_r & x_{\theta} \\ y_r & y_{\theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\sin\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$ であるから, $$ dxdy = rdrd\theta. $$ 重積分の変数変換により, \begin{align*} \iint_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy &= \iint_E\sqrt{a^2-r^2}\cdot r\,drd\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left(\int_0^a\sqrt{a^2-r^2}\cdot r\,dr\right)\,d\theta \\ &= \int_0^a\sqrt{a^2-r^2}\cdot r\,dr\int_0^{2\pi}d\theta \\ &= 2\pi\int_0^a\sqrt{a^2-r^2}\cdot r\,dr. \end{align*} 一方, $s=a^2-r^2$ とおくと, $0\leq r\leq a$ の範囲で $s$ と $r$ とは1対1に対応する. $r$ が $0$ から $a$ まで動くとき, $s$ は $a^2$ から $0$ まで動く. $ds = -2rdr$ であるから, \begin{align*} \int_0^a\sqrt{a^2-r^2}\cdot r\,dr &= \int_{a^2}^0s^{\frac{1}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)\,ds \\ &= \frac{1}{2}\int_0^{a^2}s^{\frac{1}{2}}\,ds \\ &= \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{3}s^{\frac{3}{2}} \right]_0^{a^2} = \frac{a^3}{3}. \end{align*} ゆえに, $$ \iint_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy = 2\pi\cdot\frac{a^3}{3} = \frac{2\pi a^3}{3}. $$

最終更新日：2011年11月02日