解答例 1

原点中心, 半径 $a$ の球を $V$ とすると, $$ V = \{ (x, y, z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2 \leq a^2 \} $$ と表せる. 空間の極座標変換 $$ x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta $$ によって, $$ E = \{ (r, \theta, \varphi)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\leq r\leq a,\,0\leq\theta\leq\pi,\,0\leq\varphi\leq 2\pi\} $$ は $V$ に対応する. その変換の Jacobi 行列式を計算すると, $$ \begin{vmatrix} x_{r} & x_{\theta} & x_{\varphi} \\ y_{r} & y_{\theta} & y_{\varphi} \\ z_{r} & z_{\theta} & z_{\varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix} = r^2\sin\theta $$ であるから, $$ dxdydz = r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi. $$ 重積分の変数変換により, \begin{align*} \iiint_V\,dxdydz &= \iiint_E r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi \\ &= \int_0^a\left(\int_0^{\pi}\left(\int_0^{2\pi}r^2\sin\theta\,d\varphi\right)d\theta\right)dr\\ &= \int_0^ar^2\,dr\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi \\ &= \biggl[ \frac{r^3}{3} \biggr]_0^a\cdot\biggl[-\cos\theta\biggr]_0^{\pi}\cdot\biggl[\varphi\biggr]_0^{2\pi} \\ &= \frac{a^3}{3}\cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi a^3}{3}. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日