解答例 1

$t = a^x-1$ とおくと, $$ a^x = 1 + t. $$ 両辺の対数をとると, $$ x\log a = \log a^x = \log (1+t). $$ ゆえに, $$ x = \frac{\log(1+t)}{\log a}. $$ $x\to 0$ のとき $t\to 0$ であるから, $$ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x} = \lim_{t\to 0}\frac{t\log a}{\log(1+t)} = \log a. $$ ここで, $\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t} = 1$ を用いた.

最終更新日：2011年11月02日