解答例 1

$R$ を問題の仮定を満たすような可換環とし, $a$ を $R$ の $0$ でない元とする. $a$ で生成されるイデアル $aR$ は $a$ 自身を含むから, 零イデアルではない. よって, 問題の仮定から, $aR=R$. 一方, $1\in R$ であるから, $1\in aR$. ゆえに, ある $b\in R$ が存在して, $1=ab$. すなわち, $a$ は単元である. したがって, $R$ は体である.

最終更新日：2011年11月02日