解答例 1

$K$ を体とし, $I$ を $K$ のイデアルとする. $I$ が零イデアルでないとすると, $I$ は $0$ でない $K$ の元 $a$ を含む. $K$ は体であるから, $a$ の逆元 $a^{-1}\in K$ が存在する. このとき, $I$ が $K$ のイデアルであることから, $$ 1 = a^{-1}\cdot a \in I. $$ 一方, $K$ 自身は $1$ によって生成される単項イデアルだから, $K\subseteq I$. 逆の包含関係は明らかだから, $I=K$.

最終更新日：2011年11月02日