$A$, $B$, $C$ を集合とし, $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow C$ を写像とする. このとき, 合成写像 $g\circ f$ が単射で $f$ が全射ならば, $g$ は単射であることを証明せよ.
解答例 1
$b$, $b'\in B$ とし, $g(b) = g(b')$ と仮定する. $f$ が全射であることから, ある $a$, $a'\in A$ が存在して, $$ f(a) = b,\quad f(a')=b'. $$ このとき, $$ g\circ f(a) = g(f(a)) = g(b) = g(b') = g(f(a')) = g\circ f(a'). $$ $g\circ f$ が単射であることから, $a=a'$. ゆえに, $$ b=f(a)=f(a')=b'. $$ したがって, $g$ は単射である.
最終更新日：2011年11月02日