$G$ を群, $H$ を $G$ の部分群, $N_G(H)$ を $G$ における $H$ の正規化群とする. このとき, $G$ の部分群のうち $H$ がその正規部分群となる最大のものは $N_G(H)$ であることを証明せよ.
解答例 1
$H$, $N_G(H)$ はともに $G$ の部分群であり, $H\subseteq N_G(H)$ であるから, $H$ は $N_G(H)$ の部分群である. また, 任意の $a\in N_G(H)$ に対して $aH=Ha$ が成り立つから, $H$ は $N_G(H)$ の正規部分群である.
$K$ を $G$ の部分群とし, $H$ は $K$ の正規部分群であるとする. 任意の $b\in K$ に対して, $bH=Hb$ が成り立つから, $b\in N_G(H)$. ゆえに, $K\subseteq N_G(H)$.
最終更新日：2011年11月02日