解答例 1

$N_G(S)$, $C_G(S)$ はともに $G$ の部分群であり, $C_G(S)\subseteq N_G(S)$ であるから, $C_G(S)$ は $N_G(S)$ の部分群である.

$a\in N_G(S)$, $x\in C_G(S)$, $s\in S$ とする. $aS=Sa$ であるから, ある $t\in S$ が存在して, $at=sa$. このとき, $ta^{-1}=a^{-1}s$ であり, $$ axa^{-1}s = axta^{-1} = atxa^{-1} = saxa^{-1}. $$ ゆえに, $axa^{-1}\in C_G(S)$. したがって, $C_G(S)$ は $N_G(S)$ の正規部分群である.

最終更新日：2011年11月02日