Keywords: 中心化群
Description: $C_G(S)$ を $G$ における $S$ の中心化群という.
$G$ を群, $S$ を $G$ の部分集合とし, $$ C_G(S) = \{ x\in G \mid xs=sx\,(\forall s\in S) \} $$ とおく. このとき, $C_G(S)$ は $G$ の部分群であることを証明せよ.
解答例 1
$G$ の単位元を $e$ と書く. 明らかに $e\in C_G(S)$. 特に, $C_G(S)\neq\emptyset$.
$x$, $y\in C_G(S)$とする. 任意の $s\in S$ に対して, $xs=sx$, $ys=sy$ であるから, \begin{align*} & xys = xsy = sxy, \\ & x^{-1}s = x^{-1}sxx^{-1} = x^{-1}xsx^{-1} = sx^{-1}. \end{align*} ゆえに, $xy$, $x^{-1}\in C_G(S)$. したがって, $C_G(S)$ は $G$ の部分群である.
最終更新日：2011年11月02日