解答例 1

$G$ の単位元を $e$ と書く. 明らかに $e\in N_G(S)$. 特に, $N_G(S)\neq\emptyset$.

$x$, $y\in N_G(S)$ とする.

$z\in xyS$ とすると, ある $s\in S$ が存在して, $z=xys$ と表せる. $yS=Sy$ より, ある $t\in S$ が存在して, $ys=ty$. また, $xS=Sx$ より, ある $u\in S$ が存在して, $xt = ux$. ゆえに, $$ z = xys = xty = uxy \in Sxy. $$ したがって, $xyS\subseteq Sxy$. 逆の包含関係も同様にして示せるから, $xyS=Sxy$. すなわち, $xy\in N_G(S)$.

$z'\in x^{-1}S$ とすると, ある $s'\in S$ が存在して, $z'=x^{-1}s'$ と表せる. $xS=Sx$ より, ある $t'$ が存在して, $xt'=s'x$. ゆえに, $$ z' = x^{-1}s' = x^{-1}s'xx^{-1} = x^{-1}xt'x^{-1} = t'x^{-1}\in Sx^{-1}. $$ したがって, $x^{-1}S\subseteq Sx^{-1}$. 逆の包含関係も同様にして示せるから, $x^{-1}S=Sx^{-1}$. すなわち, $x^{-1}\in N_G(S)$.

以上より, $N_G(S)$ は $G$ の部分群である.

最終更新日：2011年11月02日