解答例 1

$G$ の単位元を $e$ と書く. 明らかに $e\in Z(G)$. 特に, $Z(G)\neq\emptyset$.

$x$, $y\in Z(G)$とする. 任意の $g\in G$ に対して, $xg=gx$, $yg=gy$ であるから, \begin{align*} & xyg = xgy = gxy, \\ & x^{-1}g = x^{-1}gxx^{-1} = x^{-1}xgx^{-1} = gx^{-1}. \end{align*} ゆえに, $xy$, $x^{-1}\in Z(G)$. したがって, $Z(G)$ は $G$ の部分群である.

また, $Z(G)$ の定義から明らかに, 任意の $g\in G$ に対して $gZ(G) = Z(G)g$ が成り立つ. したがって, $Z(G)$ は $G$ の正規部分群である.

任意の $x$, $y\in Z(G)$ に対して $xy=yx$ が成り立つことは, $Z(G)$ の定め方よりわかる.

最終更新日：2011年11月02日