解答例 1

位数 $p^2$ の群 $G$ の中心 $Z(G)$ が $G$ 自身と一致することを示せばよい.

$G$ の位数は素数の冪なので, $Z(G)$ は単位群ではない. よって, $\lvert Z(G)\rvert=p$ または $p^2$ である.

もし仮に $\lvert Z(G)\rvert=p$ だとすると, $Z(G)$ に属さない $G$ の元 $a$ が存在する. $\{a\}$ の正規化群を $N_G(a)$ とすると, $Z(G)\subseteq N_G(a)$ かつ $a\in N_G(a)$ であるから, $\lvert N_G(a)\rvert > p$. しかも, $\lvert N_G(a)\rvert$ は $\lvert G\rvert = p^2$ の約数であるから, $\lvert N_G(a)\rvert = p^2$. すなわち, $N_G(a)=G$. ゆえに, $a\in Z(G)$ となり, 矛盾が生じる.

したがって, $\lvert Z(G)\rvert = p^2$, $Z(G)=G$ でなければならない.

最終更新日：2011年11月02日