解答例 1

$G$ を有限群, $U$ を $G$ の各共役類から1つずつ元をとってできる代表系とするとき, 類等式 $$ \lvert G\rvert = \lvert Z(G)\rvert + \sum_{x\in U\setminus Z(G)}(G:N_G(x)) $$ が成り立つ. ここで, $Z(G)$ は $G$ の中心, $N_G(x)$ は $G$ における $\{x\}$ の正規化群である. すべての $x\in U\setminus Z(G)$ に対して, $(G:N_G(x))$ は $1$ より大きい $\lvert G\rvert$ の約数である.

$G$ の位数 $\lvert G\rvert$ が, ある素数 $p$ の冪であるとする. そのとき, 各 $(G:N_G(x))$ もまた $p$ の冪である. ゆえに, $\lvert Z(G)\rvert$ は $p$ で割り切れなければならない. したがって, $\lvert Z(G)\rvert\neq 1$ であり, $Z(G)$ は単位群ではない.

最終更新日：2011年11月02日