解答例 1

$R$ を有限整域とし, $a$ を $R$ の $0$ でない元とする. 写像 $$ f_{a}: R\longrightarrow R,\quad x\longmapsto ax $$ を考える. $R$ は整域だから, $a$ は零因子でない. よって, 任意の $x$, $y\in R$ に対して, \begin{align*} f_{a}(x)=f_{a}(y) &\Longrightarrow ax = ay \\ &\Longrightarrow a(x-y)=0 \\ &\Longrightarrow x-y=0 \\ &\Longrightarrow x=y. \end{align*} ゆえに, $f_{a}$ は単射であり, $\lvert f_{a}(R)\rvert=\lvert R\rvert<\infty$. これと $f_{a}(R)\subseteq R$ から, $f_{a}(R)=R$ でなければならない. すなわち, $f_{a}$ は全射である. 特に, ある $x\in R$ が存在して, $$ 1 = f_{a}(x) = ax. $$ したがって, $a$ は単元である.

$0$ 以外のすべての元が単元であるから, $R$ は体である.

最終更新日：2011年11月02日