解答例 1

$x=0$ のとき, $$ \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{x}{n} \right)^{n} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1 = e^0. $$ $x\neq 0$ のとき, $$ \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{x}{n} \right)^{n} = \lim_{s\to\infty}\left( 1+\frac{x}{s} \right)^{s}. $$ ただし, 右辺は関数の極限である. 右辺が収束すれば, 左辺も収束し, 左辺の極限値は右辺のそれに一致する.

さて, $t=s/x$ とおく. $x>0$ の場合, $s\to\infty$ のとき $t\to\infty$ なので, $$ \lim_{s\to\infty}\left( 1+\frac{x}{s} \right)^{s} = \lim_{t\to\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right)^{tx} = e^x. $$ ここで, 2番目の等式において, $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right)^{t} = e$ と, $x$ を固定したとき $u^x$ が $u$ の連続関数になることを用いた. 同様に, $x<0$ の場合, $s\to\infty$ のとき $t\to-\infty$ なので, $$ \lim_{s\to\infty}\left( 1+\frac{x}{s} \right)^{s} = \lim_{t\to-\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right)^{tx} = e^x. $$ ここで, 2番目の等式において, $\displaystyle\lim_{t\to-\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right)^{t} = e$ と, $x$ を固定したとき $u^x$ が $u$ の連続関数になることを用いた.

最終更新日：2011年11月02日