$\alpha$ を実数とするとき, $$ \lim_{x\to+0}x^{\alpha}\log x = \begin{cases} 0, &\mbox{$\alpha>0$} \\ -\infty, &\mbox{$\alpha\leq 0$} \end{cases} $$ を証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} \lim_{x\to\infty}x^{\alpha}\log x &= \lim_{x\to\infty}\frac{-\log(1/x)}{(1/x)^{\alpha}} = \lim_{y\to+0}\frac{-\log y}{y^{\alpha}} \\ &= \begin{cases} 0, &\mbox{$\alpha>0$} \\ -\infty, &\mbox{$\alpha\leq 0$}. \end{cases} \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日