解答例 1

$\alpha>0$ のとき, \begin{align*} \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^{\alpha}} &= \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{e^{\alpha\log x}} = \frac{1}{\alpha}\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{\alpha\log x}{e^{\alpha\log x}} \\ &= \frac{1}{\alpha}\cdot\lim_{y\to\infty}\frac{y}{e^y} = 0. \end{align*} $\alpha=0$ のとき, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^{\alpha}} = \lim_{x\to\infty} \log x = \infty. $$ $\alpha<0$ のとき, $x^{-\alpha}\to\infty$ ($x\to\infty$) であるから, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^{\alpha}} = \lim_{x\to\infty}x^{-\alpha}\log x = \infty. $$

最終更新日：2011年11月02日