解答例 1

$tE-A$ に基本変形を施して単因子を計算すると, \begin{align*} \begin{bmatrix} t & 0 & c \\ -1 & t & b \\ 0 & -1 & t+a \end{bmatrix} &\longrightarrow \begin{bmatrix} -1 & t & b \\ 0 & -1 & t+a \\ t & 0 & c \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & -t & -b \\ 0 & 1 & -t-a \\ t & 0 & c \end{bmatrix} \\ &\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & -t & -b \\ 0 & 1 & -t-a \\ 0 & t^2 & bt+c \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -t-a \\ 0 & t^2 & bt+c \end{bmatrix} \\ &\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -t-a \\ 0 & 0 & t^3+at^2+bt+c \end{bmatrix} \\ &\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t^3+at^2+bt+c \end{bmatrix}. \end{align*} よって, $tE-A$ の単因子は $$ e_1(t)=e_2(t)=1,\quad e_3(t)=t^3+at^2+bt+c. $$ このとき, $A$ の最小多項式は $e_3(t)$ に等しい.

最終更新日：2011年11月02日