体 $K$ 上の正方行列 $$ A = \begin{bmatrix} & & a \\ & a & \\ a & & \end{bmatrix} $$ の最小多項式を求めよ.
解答例 1
$A^2-a^2E=O$ だから, $A$ の最小多項式は $t^2-a^2=(t-a)(t+a)$ を $K[t]$ において割る多項式, すなわち $t-a$, $t+a$, $t^2-a^2$ のいずれかである.
$a=0$ のとき, $A=O$ であり, $t$ が $A$ の最小多項式である.
$a\neq 0$ のとき, $A-aE\neq O$, $A+aE\neq O$ より $t^2-a^2$ が $A$ の最小多項式である.
最終更新日：2011年11月02日