解答例 1

関数 $x^k$ は区間 $[a, \infty)$ で連続である.

$k\neq -1$ のとき, \begin{align*} \int_a^{\infty}x^k\,dx &= \lim_{t\to \infty} \int_a^tx^k\,dx = \lim_{t\to \infty}\left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_a^t \\ &= \lim_{t\to \infty}\left( \frac{x^{k+1}}{k+1} - \frac{a^{k+1}}{k+1} \right) \\ &= \begin{cases} \displaystyle -\frac{a^{k+1}}{k+1}, & \mbox{$k<-1$} \\ \infty, & \mbox{$k>-1$}. \end{cases} \end{align*}

$k=-1$ のとき, \begin{align*} \int_a^{\infty}x^k\,dx &= \lim_{t\to \infty} \int_a^t x^{-1}\,dx = \lim_{t\to \infty}\left[\log x\right]_a^t \\ &= \lim_{t\to \infty}\bigl( \log t - \log a \bigr) = \infty. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日