$K$ を整域, $R$ をその部分整域, $\mathfrak{a}$ を $R$ の $0$ でないイデアルとするとき, $\mathrm{Hom}_{R}(R/\mathfrak{a}, K)=0$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\mathfrak{a}\neq 0$ なので, $a\in\mathfrak{a}$, $a\neq 0$ が存在する.
$f\in \mathrm{Hom}_{R}(R/\mathfrak{a}, K)$ とすると, 任意の $x\in R$ に対して, $$ a\cdot f(x+\mathfrak{a}) = f(ax+\mathfrak{a}) = f(0+\mathfrak{a}) = 0. $$ $K$ は整域であり, $a\neq 0$ だから, $f(x+\mathfrak{a})=0$ でなければならない. したがって, $f=0$.
最終更新日：2011年11月02日