解答例 1

$H=\mathrm{Hom}_{R}(K, K)$ とおく. 写像 $\varphi$ を $$ \varphi: H\rightarrow K,\quad f\mapsto f(1) $$ によって定める.

任意の $f$, $g\in H$ と $r\in R$ に対して \begin{align*} &\varphi(f+g) = (f+g)(1) = f(1)+g(1) = \varphi(f)+\varphi(g), \\ &\varphi(rf) = (rf)(1) = r\cdot f(1) = r\cdot\varphi(f). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $R$ 準同型である.

各 $a\in K$ に対して, 写像 $f_{a}:K\rightarrow K$ を, 各 $x\in K$ に対して, $$ f_{a}(x)=ax $$ とおくことによって定めると, 任意の $x$, $y\in K$, $r\in R$ に対して, \begin{align*} &f_{a}(x+y) = a(x+y) = ax+ay = f_{a}(x)+f_{a}(y), \\ &f_{a}(rx) = a(rx) = r(ax) = r\cdot f(x). \end{align*} ゆえに, $f_{a}$ は $R$ 準同型である. すなわち, $f_{a}\in H$. これより, 写像 $$ \psi: K\rightarrow H,\quad a\mapsto f_{a} $$ が定まる.

$\varphi$ が全単射であることを示すために, $\psi$ が $\varphi$ の逆写像であることを示す. 任意の $a\in K$ に対して, $$ \varphi\circ\psi(a) = \varphi(f_{a}) = f_{a}(1) = a. $$ 逆に, 任意の $f\in H$ に対して, $b=f(1)$ とおくと, $$ \psi\circ\varphi(f) = \psi(b) = f_{b}. $$ 一方, 任意の $m$, $n\in R$, $n\neq 0$ に対して, \begin{align*} n\cdot f_{b}\left(\frac{m}{n}\right) &= f_{b}\left(n\cdot\frac{m}{n}\right) = f_{b}(m) = m\cdot f_b(1) = m(b\cdot 1) \\ &= mb = m\cdot f(1) = f(m) = f\left(n\cdot\frac{m}{n}\right) \\ &= n\cdot f\left(\frac{m}{n}\right). \end{align*} $K$ は体なので, 両辺を $n$ で割ることにより, $f_{b}(m/n) = f(m/n)$ が得られる. さらに, $K$ は $R$ の商体だから, $K$ のすべての元は $m/n$ の形で表せる. ゆえに, $f_{b}=f$ となる. よって, $\psi\circ\varphi(f)=f$. したがって, $\psi$ は $\varphi$ の逆写像であり, $\varphi$ は全単射である.

以上より, $\varphi$ が $R$ 同型であることが示された.

最終更新日：2011年11月02日