解答例 1

$H=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(m\mathbb{Z}, M)$ とおく. 写像 $\varphi$ を $$ \varphi: H\rightarrow M,\quad f\mapsto f(m) $$ によって定める.

任意の $f$, $g\in H$ と $r\in\mathbb{Z}$ に対して \begin{align*} &\varphi(f+g) = (f+g)(m) = f(m)+g(m) = \varphi(f)+\varphi(g), \\ &\varphi(rf) = (rf)(m) = r\cdot f(m) = r\cdot\varphi(f). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である.

各 $x\in M$ に対して, 写像 $f_{x}:m\mathbb{Z}\rightarrow M$ を, 各 $r\in \mathbb{Z}$ に対して, $$ f_{x}(ma)=ax $$ とおくことによって定める. 任意の $a$, $b$, $r\in \mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} &f_{x}(ma+mb) = (a+b)x = ax+bx = f_{x}(ma)+f_{x}(mb), \\ &f_{x}(r(ma)) = f_{x}(m(ra)) = (ra)x = r(ax) = r\cdot f_{x}(ma). \end{align*} ゆえに, $f_{x}$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である. すなわち, $f_{x}\in H$. これより, 写像 $$ \psi: M\rightarrow H,\quad x\mapsto f_{x}. $$ が定まる.

$\varphi$ が全単射であることを示すために, $\psi$ が $\varphi$ の逆写像であることを示す. 任意の $x\in M$ に対して, $$ \varphi\circ\psi(x) = \varphi(f_{x}) = f_{x}(m) = f_{x}(m\cdot 1) = 1\cdot x = x. $$ 逆に, 任意の $f\in H$ に対して, $y=f(m)$ とおくと, $$ \psi\circ\varphi(f) = \psi(y) = f_{y}. $$ 一方, 任意の $a\in \mathbb{Z}$ に対して, $$ f_{y}(ma) = ay = a\cdot f(m) = f(ma). $$ ゆえに, $f_{y}=f$. よって, $\psi\circ\varphi(f)=f$. したがって, $\psi$ は $\varphi$ の逆写像であり, $\varphi$ は全単射である.

以上より, $\varphi$ が $\mathbb{Z}$ 加群の同型であることが示された.

解答例 2

$m$ 倍写像 $$ [m]: \mathbb{Z}\rightarrow m\mathbb{Z},\quad x\mapsto mx $$ は $\mathbb{Z}$ 加群の同型であり, その逆写像は $$ [m^{-1}]: m\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},\quad mx\mapsto x $$ である. これより, 任意の $\mathbb{Z}$ 加群 $M$ に対して, $\mathbb{Z}$ 加群の同型 $$ \varphi: \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(m\mathbb{Z}, M)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, M), \quad f\mapsto f\circ [m] $$ が定まる. 実際, $H=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(m\mathbb{Z}, M)$ とおくと, 任意の $f$, $g\in H$ と任意の $r$, $x\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} \varphi(f+g)(x) &= ((f+g)\circ [m])(x) = (f+g)(mx) \\ &= f(mx)+g(mx) \\ &= (f\circ [m])(x)+(g\circ[m])(x) \\ &= \varphi(f)(x)+\varphi(g)(x) \\ &= (\varphi(f)+\varphi(g))(x). \\ \varphi(rf)(x) &= ((rf)\circ [m])(x) = (rf)(mx) \\ &= r\cdot f(mx) = r\cdot (f\circ [m])(x) \\ &= r\cdot \varphi(f)(x). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は準同型である. さらに, $$ \psi: \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, M)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(m\mathbb{Z}, M), \quad g\mapsto g\circ [m^{-1}] $$ が $\varphi$ の逆写像になる. 実際, $H'=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, M)$ とおくと, 任意の $f\in H$, $g\in H'$ に対して, \begin{align*} &\psi\circ \varphi(f) = \psi(f\circ [m]) = (f\circ [m])\circ [m^{-1}] = f\circ ([m]\circ [m^{-1}]) = f, \\ &\varphi\circ\psi(g) = \varphi(g\circ [m^{-1}]) = (g\circ [m^{-1}])\circ [m] = g\circ ([m^{-1}]\circ [m]) = g. \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は全単射である. よって確かに, $\varphi$ は同型である.

このとき, 同型 $$ \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(m\mathbb{Z}, M) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, M) \cong M $$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日