解答例 1

$H=\mathrm{Hom}_{R}(R, M)$ とおく. 写像 $\varphi$ を $$ \varphi: H\rightarrow M,\quad f\mapsto f(1) $$ によって定める.

任意の $f$, $g\in H$ と $r\in R$ に対して \begin{align*} &\varphi(f+g) = (f+g)(1) = f(1)+g(1) = \varphi(f)+\varphi(g), \\ &\varphi(rf) = (rf)(1) = r\cdot f(1) = r\cdot\varphi(f). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $R$ 準同型である.

各 $x\in M$ に対して, 写像 $f_{x}:R\rightarrow M$ を, 各 $r\in R$ に対して, $$ f_{x}(a)=ax $$ とおくことによって定める. 任意の $a$, $b$, $r\in R$ に対して, \begin{align*} &f_{x}(a+b) = (a+b)x = ax+bx = f_{x}(a)+f_{x}(b), \\ &f_{x}(ra) = (ra)x = r(ax) = r\cdot f_{x}(a). \end{align*} ゆえに, $f_{x}$ は $R$ 準同型である. すなわち, $f_{x}\in H$. これより, 写像 $$ \psi: M\rightarrow H,\quad x\mapsto f_{x}. $$ が定まる.

$\varphi$ が全単射であることを示すために, $\psi$ が $\varphi$ の逆写像であることを示す. 任意の $x\in M$ に対して, $$ \varphi\circ\psi(x) = \varphi(f_{x}) = f_{x}(1) = 1\cdot x = x. $$ 逆に, 任意の $f\in H$ に対して, $y=f(1)$ とおくと, $$ \psi\circ\varphi(f) = \psi(y) = f_{y}. $$ 一方, 任意の $a\in R$ に対して, $$ f_{y}(a) = ay = a\cdot f(1) = f(a). $$ ゆえに, $f_{y}=f$. よって, $\psi\circ\varphi(f)=f$. したがって, $\psi$ は $\varphi$ の逆写像であり, $\varphi$ は全単射である.

以上より, $\varphi$ が $R$ 加群の同型であることが示された.

最終更新日：2011年11月02日