解答例 1

$f\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Z})$, すなわち, $f:M\rightarrow\mathbb{Z}$ を $\mathbb{Z}$ 準同型とする.

$M$ が可除 $\mathbb{Z}$ 加群ならば, $f(M)$ もまた可除$\mathbb{Z}$加群である. 実際, $u\in M$ を任意にとると, $M$ は可除$\mathbb{Z}$加群だから, 任意の $r\in\mathbb{Z}$ に対して, ある $v\in M$ が存在して, $u=rv$. ゆえに, $$ f(u) = f(rv) = r\cdot f(v). $$ よって, 任意の $u\in M$ と任意の素数 $p$ に対して, ある $v\in M$ が存在して, $f(u)=p\cdot f(v)$ となる. $f(v)\in\mathbb{Z}$ だから, $f(u)$ は $p$ で割り切れる.

もし仮に $f(u)\neq 0$ ならば, $p$ は任意なので, $f(u)$ は無数の素因子を持つことになり矛盾する. ゆえに, $f(u)=0$ でなければならない. したがって, $f=0$ となる.

最終更新日：2011年11月02日