解答例 1

$f\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q}, \mathbb{Z})$ とする.

任意の $m$, $n\in\mathbb{Z}$, $n\neq 0$, $\gcd(m, n)=1$ に対して, \begin{equation} n\cdot f\left(\frac{m}{n}\right) = f\left(n\cdot\frac{m}{n}\right) = f(m) = m\cdot f(1). \tag{1} \end{equation} $f(\mathbb{Q})\subseteq\mathbb{Z}$ なので, $n$ は $f(1)$ を割る. 特に, $m=1$ とし, $n$ として素数 $p$ をとれば, $p$ は $f(1)$ の約数である.

もし仮に $f(1)\neq 0$ ならば, $p$ の取り方は任意なので, $f(1)$ は無数の素因子を持つことになり矛盾する. したがって, $f(1)=0$ でなければならない. すると, (1) より, $f(m/n)=0$ がいえる. ゆえに, $f=0$.

最終更新日：2011年11月02日