解答例 1

$f(x)=e^x$ とおく. 任意の $x\in (-\infty, \infty)$ に対して, $$ f^{(k)}(x) = e^x,\quad f^{(k)}(0)=1\quad (k=0,1,2,\ldots) $$ であるから, $n=1$, $2$, $\ldots$ に対して, $x$, $n$ に依存する実数 $\theta$ が存在して, \begin{align*} e^x &= \left( \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \right) + \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(\theta x) \\ &= \left( \sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!} \right) + \frac{x^n}{n!}e^{\theta x},\quad 0<\theta<1 \end{align*} が成り立つ. $\displaystyle R_n(x) = \frac{x^n}{n!}e^{\theta x}$ とおくと, $e^x$ は単調増加かつ $\theta x\leq \lvert x\rvert$ より $$ e^{\theta x}\leq e^{\lvert x\rvert} $$ であるから, $$ \lvert R_n(x)\rvert \leq \frac{\lvert x\rvert^n}{n!}e^{\lvert x\rvert} \to 0 \quad (n\to\infty). $$ ゆえに, \begin{align*} e^x - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} &= e^x - \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} \\ &= \lim_{n\to\infty}\left( e^x - \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0. \end{align*} したがって, $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\quad (-\infty<x<\infty). $$

最終更新日：2011年11月02日