解答例 1

$C$ を $$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\leq\theta\leq 2\pi $$ によってパラメータ表示し, $\theta$ は $0$ から $2\pi$ へ向かうとすると, \begin{align*} \int_C y\,dx &= \int_{0}^{2\pi}y\cdot\frac{dx}{d\theta}\,d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi}r\sin\theta\cdot(-r\sin\theta)\,d\theta \\ &= -r^2\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta, \\ \int_C x\,dx &= \int_{0}^{2\pi}x\cdot\frac{dy}{d\theta}\,d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi}r\cos\theta\cdot r\cos\theta\,d\theta \\ &= r^2\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \int_C y\,dx-x\,dy &= \int_C y\,dx-\int_C x\,dy \\ &= -2r^2\int_{0}^{2\pi}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,d\theta \\ &= -2r^2\int_{0}^{2\pi}d\theta = -2\pi r^2. \end{align*}

解答例 2

$D$ を原点中心, 半径 $r$ の閉円板とすると, $C$ は $D$ の境界である. Green の定理を用いて計算すると, \begin{align*} \int_C y\,dx &= -\iint_D\frac{\partial y}{\partial y}\,dxdy = -\iint_D\,dxdy = -\pi r^2, \\ \int_C x\,dx &= \iint_D\frac{\partial x}{\partial x}\,dxdy = \iint_D\,dxdy = \pi r^2. \end{align*} ゆえに, $$ \int_C y\,dx-x\,dy = \int_C y\,dx-\int_C x\,dy = -2\pi r^2. $$

最終更新日：2011年11月02日