解答例 1

実数 $a>0$ に対して, $$ D(a) = \{ (x, y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq a,\, 0\leq y\leq a \} $$ とおくと, \begin{align} \left( \int_{0}^{a}e^{-x^2}\,dx \right)^2 &= \int_{0}^{a}e^{-x^2}\,dx \int_{0}^{a}e^{-y^2}\,dy \notag \\ &= \int_{0}^{a}\,dx \int_{0}^{a}e^{-x^2-y^2}\,dy \notag \\ &= \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}\,dxdy. \tag{1} \end{align} また, $$ E(a) = \{ (x, y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\leq a,\, x\geq 0,\, y\geq 0 \} $$ とおくと, $$ E(a) \subseteq D(a) \subseteq E(\sqrt{2}a) $$ であり, 任意の実数 $x\geq 0$, $y\geq 0$ に対して $e^{-x^2-y^2}>0$ であるから, \begin{align} \iint_{E(a)} e^{-x^2-y^2}\,dxdy &\leq \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}\,dxdy \notag \\ &\leq \iint_{E(\sqrt{2}a)} e^{-x^2-y^2}\,dxdy. \tag{2} \ \end{align} 一方, 平面の極座標変換 $$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$ によって, 閉領域 $$ \{ (r, \theta)\in\mathbb{R} \mid 0\leq r\leq a,\, 0\leq\theta\leq\pi/2 \} $$ は $E(a)$ に対応する. その変換の Jacobi 行列式は $$ \begin{vmatrix} x_r & x_{\theta} \\ y_r & y_{\theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r $$ であるから, $$ dxdy = r\,drd\theta. $$ 重積分の変数変換により, \begin{align} \iint_{E(a)} e^{-x^2-y^2}\,dxdy &= \int_{0}^{\pi/2}\left(\int_{0}^{a}e^{-r^2}r\,dr\right)\,d\theta \notag \\ &= \int_{0}^{a}e^{-r^2}r\,dr \int_{0}^{\pi/2}\,d\theta \notag \\ &= \left[-\frac{e^{-r^2}}{2} \right]_0^a \cdot \frac{\pi}{2} \notag \\ &= \frac{\pi(1-e^{-a^2})}{4}. \tag{3} \end{align} 同様に, \begin{equation} \iint_{E(\sqrt{2}a)} e^{-x^2-y^2}\,dxdy = \frac{\pi(1-e^{-2a^2})}{4}. \tag{4} \end{equation} (1) ～ (4) より, $$ \frac{\pi(1-e^{-a^2})}{4} \leq \left( \int_{0}^{a}e^{-x^2}\,dx \right)^2 \leq \frac{\pi(1-e^{-2a^2})}{4}. $$ 各辺で $a\to\infty$ とすると, 両端の辺は $\pi/4$ に収束する. よって, $$ \left( \int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \right)^2 = \lim_{a\to\infty}\left( \int_{0}^{a}e^{-x^2}\,dx \right)^2 = \frac{\pi}{4}. $$ 任意の実数 $x\geq 0$ に対して $e^{-x^2}> 0$ であるから, $\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\geq 0$. ゆえに, $$ \int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$

最終更新日：2011年11月02日