解答例 1

$\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}$ とおくと, $$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt. $$ よって, \begin{align*} \int\frac{1}{\sin x}\,dx &= \int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt \\ &= \int\frac{1}{t}\,dt = \log\lvert t\rvert \\ &= \log\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert. \end{align*}

解答例 2

$t=\cos x$ とおくと, $dt = \sin x\,dx$ だから, \begin{align*} \int\frac{1}{\sin x}\,dx &= \int\frac{\sin x}{\sin^2 x}\,dx = \int\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\,dx \\ &= \int\frac{1}{1-t^2}\,dt = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-t}-\frac{1}{1+t}\right)\,dt \\ &= \frac{1}{2}(\log\lvert 1-t\rvert - \log\lvert 1+t\rvert) = \frac{1}{2}\log\left\lvert\frac{1-t}{1+t}\right\rvert \\ &= \frac{1}{2}\log\left\lvert\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right\rvert. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日