解答例 1

$f(x)$ は $x=a$ で微分可能であると仮定する. その仮定には, $a$ のある近傍で $f(x)$ が定義されているという条件も含まれている. その近傍内の任意の点 $x\neq a$ に対して, $$ f(x) = f(a) + \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a) $$ が成り立つ. 極限をとると, \begin{align*} \lim_{x\to a}f(x) &= \lim_{x\to a}\left(f(a) + \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a) \right) \\ &= \lim_{x\to a}f(a) + \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \lim_{x\to a}(x-a) \\ &= f(a) + f'(a)\cdot 0 = f(a). \end{align*} ゆえに, $f(x)$ は $x=a$ で連続である.

最終更新日：2011年11月02日