解答例 1

$\sqrt{x^2+a}+x=t$ とおくと, $$ x^2+a = (t-x)^2 = t^2-2tx + x^2. $$ ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} &x=\frac{1}{2}\biggl( t-\frac{a}{t} \biggr), \quad dx=\frac{1}{2}\biggl( 1+\frac{a}{t^2} \biggr)dt, \\ &\sqrt{x^2+a} = t-x = t-\frac{1}{2}\biggl( t-\frac{a}{t} \biggr) = \frac{1}{2}\biggl( t+\frac{a}{t} \biggr). \end{split} \end{equation*} よって, \begin{equation*} \begin{split} \int \sqrt{x^2+a} \,dx &= \int \frac{1}{2}\biggl( 1+\frac{a}{t^2} \biggr) \cdot\frac{1}{2}\biggl( t+\frac{a}{t} \biggr)\,dt \\ &= \frac{1}{4}\int\biggl( t+\frac{2a}{t}+\frac{a^2}{t^3} \biggr) \,dt \\ &= \frac{t^2}{8}+\frac{a}{2}\log\lvert t\rvert -\frac{a^2}{8t^2}+C \\ &= \frac{1}{8}\biggl( t^2+\frac{a^2}{t^2} \biggr)+\frac{a}{2}\log\lvert t\rvert+C. \end{split} \end{equation*} ここで, \begin{equation*} \begin{split} t^2-\frac{a^2}{t^2} &= (\sqrt{x^2+a}+x)^2 - \frac{a^2}{(\sqrt{x^2+a}+x)^2} \\ &= (\sqrt{x^2+a}+x)^2 - \frac{a^2(\sqrt{x^2+a}-x)^2}{(\sqrt{x^2+a}+x)^2(\sqrt{x^2+a}-x)^2} \\ &= (\sqrt{x^2+a}+x)^2 - (\sqrt{x^2+a}-x)^2 \\ &= 4x\sqrt{x^2+a}. \end{split} \end{equation*} また, $a>0$ より, $$ t=\sqrt{x^2+a}+x>\sqrt{x^2}+x=\lvert x\rvert + x \geq 0 $$ であるから, $\lvert t\rvert = t = \sqrt{x^2+a}+x$. ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} \int \sqrt{x^2+a} \,dx &= \frac{1}{8}\cdot 4x\sqrt{x^2+a}+\frac{1}{2}\log\bigl(\sqrt{x^2+a}+x\bigr)+C \\ &= \frac{1}{2}\biggl( x\sqrt{x^2+a}+\log\bigl(\sqrt{x^2+a}+x \bigr) \biggr)+C. \end{split} \end{equation*} ただし, $C$ は積分定数.

解答例 2

部分積分法を用いて計算すると, \begin{equation*} \begin{split} \int \sqrt{x^2+a} \,dx &= \int 1\cdot\sqrt{x^2+a} \,dx = \int x'\cdot\sqrt{x^2+a} \,dx \\ &= x\sqrt{x^2+a}-\int x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+a}} \,dx \\ &= x\sqrt{x^2+a}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}} \,dx \\ &= x\sqrt{x^2+a}-\int\frac{(x^2+a)-a}{\sqrt{x^2+a}} \,dx \\ &= x\sqrt{x^2+a}-\int\sqrt{x^2+a}\,dx+a\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dx \\ &= x\sqrt{x^2+a}-\int\sqrt{x^2+a}\,dx+a\log\lvert x+\sqrt{x^2+a} \rvert+C'. \end{split} \end{equation*} ただし, $C'$ は積分定数. ゆえに $$ \int \sqrt{x^2+a}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(x\sqrt{x^2+a}+a\log\lvert x+\sqrt{x^2+a}\rvert\bigr)+C. $$ ただし, $\displaystyle C=\frac{C'}{2}$ は積分定数. ところで, $a>0$ より, $$ \sqrt{x^2+a}+x>\sqrt{x^2}+x=\lvert x\rvert + x \geq 0 $$ であるから, $\lvert \sqrt{x^2+a}+x\rvert = \sqrt{x^2+a}+x$. ゆえに $$ \int \sqrt{x^2+a}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{x^2+a}+a\log\bigl(x+\sqrt{x^2+a}\bigr)\Bigr)+C. $$

最終更新日：2011年11月02日