解答例 1

$\sqrt{x^2+a}+x=t$ とおくと, $$ x^2+a = (t-x)^2 = t^2-2tx + x^2. $$ ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} &x=\frac{1}{2}\biggl( t-\frac{a}{t} \biggr), \quad dx=\frac{1}{2}\biggl( 1+\frac{a}{t^2} \biggr)dt, \\ &\sqrt{x^2+a} = t-x = t-\frac{1}{2}\biggl( t-\frac{a}{t} \biggr) = \frac{1}{2}\biggl( t+\frac{a}{t} \biggr). \end{split} \end{equation*} よって, \begin{equation*} \begin{split} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} \,dx &= \int \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\biggl( 1+\frac{a}{t^2} \biggr)} {\displaystyle \frac{1}{2}\biggl( t+\frac{a}{t} \biggr)}\,dt = \int \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\biggl( 1+\frac{a}{t^2} \biggr)} {\displaystyle \frac{t}{2}\biggl( 1+\frac{a}{t^2} \biggr)}\,dt \\ &=\int\frac{1}{t} \,dt = \log\lvert t\rvert+C \\ &= \log\lvert \sqrt{x^2+a}+x \rvert+C. \end{split} \end{equation*} ただし, $C$ は積分定数.

解答例 2

$f(x)=\sqrt{x^2+a}+x$ とおくと, $$ f'(x) = 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{\sqrt{x^2+a}+x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+a}}. $$ ゆえに, $$ \frac{d}{dx}\log\lvert f(x) \rvert = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}. $$ したがって, $\log\lvert f(x) \rvert$ は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$ の不定積分である.

最終更新日：2011年11月02日