解答例 1

$\displaystyle f(x)=\frac{x-a}{x+a}$ とおくと, $$ f'(x) = \frac{1}{x+a}-\frac{x-a}{(x+a)^2} = \frac{x+a-(x-a)}{(x+a)^2} = \frac{2a}{(x+a)^2}. $$ ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}\biggl(\frac{1}{2a}\log\lvert f(x) \rvert \biggr) &= \frac{1}{2a}\cdot\frac{d}{dx}\log\lvert f(x) \rvert = \frac{1}{2a}\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a}{(x-a)(x+a)} \\ &= \frac{1}{x^2-a}. \end{split} \end{equation*} したがって, $\displaystyle \frac{1}{2a}\log\lvert f(x) \rvert$ は $\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}$ の不定積分である.

解答例 2

\begin{equation*} \begin{split} \int\frac{1}{x^2-a^2}\,dx &= \frac{1}{2a}\int\biggl( \frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a} \biggr)\,dx \\ &= \frac{1}{2a}\biggl(\int \frac{1}{x-a}\,dx-\int\frac{1}{x+a} \,dx\biggr) \\ &= \frac{1}{2a}\bigl( \log\lvert x-a\rvert - \log\lvert x+a \rvert \bigr)+C \\ &= \frac{1}{2a}\log\biggl\lvert \frac{x-a}{x+a} \biggr\rvert + C. \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日