解答例 1

\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}(-\log\lvert \cos x \rvert ) &= -\frac{d}{dx}\log\lvert \cos x \rvert = -\frac{(\cos x)'}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \tan x. \end{split} \end{equation*} したがって, $-\log\lvert \cos x\rvert$ は $\tan x$ の不定積分である.

解答例 2

$\tan x=t$ とおくと, $\displaystyle \cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}$ より, $$ dt = (\tan x)'dx = \frac{dx}{\cos^2 x}=(1+t^2)dx. $$ ゆえに, $\displaystyle dx = \frac{1}{1+t^2}dt$. よって \begin{equation*} \begin{split} \int\tan x\,dx &= \int\frac{t}{1+t^2}\,dt = \frac{1}{2}\int\frac{2t}{1+t^2}\,dt \\ &= \frac{1}{2}\log(1+t^2)+C = \frac{1}{2}\log\frac{1}{\cos^2 x}+C = \log\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}+C \\ &= -\log\lvert\cos x \rvert+C. \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日