$A$ を $2$次の正方行列, $s$, $t$ を実数とする. $t\neq 0$ であるとし, \begin{equation} A^2-sA+tE=O \tag{$*$} \end{equation} が成り立っているとする. このとき, $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在して, $$ A^{-1}=\frac{1}{t}(sE-A) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
($*$) より, $$ tE=sA-A^2. $$ 一方, \begin{equation*} \begin{split} sA-A^2 &= (sE)A-A^2 = (sE-A)A, \\ sA-A^2 &= A(sE)-A^2 = A(sE-A) \end{split} \end{equation*} であるから, \begin{equation*} \begin{split} (sE-A)A &= tE, \\ A(sE-A) &= tE. \end{split} \end{equation*} $t\neq 0$ であるから, 両辺を $t$ で割ると, \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{t}(sE-A)A &= E, \\ A\cdot\frac{1}{t}(sE-A) &= E. \end{split} \end{equation*} ゆえに, $A$ の逆行列は存在し, $$ A^{-1} = \frac{1}{t}(sE-A). $$
最終更新日：2011年11月02日