実行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と実数 $s$, $t$ について, $sA+tE=O$ が成り立つとする. このとき, $A=aE$ または $s=t=0$ であることを証明せよ.
ただし, $E$ を $2$ 次の単位行列とし, $O$ を $2$ 次の零行列とする.
解答例 1
$s\neq 0$ のとき, $\displaystyle k=-\frac{t}{s}$ とおくと, $sA+tE=O$ より $A=kE$. すなわち, $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}. $$ よって, $a=d=k$, $b=c=0$. したがって, $A=aE$.
$s=0$ のとき, $sA+tE=O$ より $tE=O$. ゆえに, $t=0$.
以上より, $A=aE$ または $s=t=0$ であることが示された.
最終更新日：2011年11月02日