解答例 1

(i) ハミルトン・ケーリーの定理より, $A^2-sA+tE=O$. よって, \begin{equation} A^2=sA-tE. \tag{1} \end{equation} (1) を $A^3=E$ に代入すると, $$ A(sA-tE)=E, \quad\mbox{よって},\quad sA^2-tA=E. $$ さらに (1) を代入すると, $$ s(sA-tE)-tA=E. $$ 整理すると, $$ (s^2-t)A-(st+1)E=O. $$

(ii) $s^2\neq t$ のとき, $\displaystyle k=\frac{st+1}{s^2-t}$ とおくと, (i) より, $$ A=kE, \quad\mbox{よって},\quad A^3=k^3E^3=k^3E. $$ これと $A^3=E$ より, $$(k^3-1)E=O, \quad\mbox{よって},\quad k^3-1=0. $$ $k$ は実数だから, $k=1$. よって, $A=E$. すなわち, $a=d=1$, $b=c=0$. ゆえに, $s=a+d=2$, $t=ad-bc=1$,

$s^2=t$ のとき, (i) より $$ -(s^3+1)E=O, \quad\mbox{よって},\quad s^3+1=0. $$ $s$ は実数だから, $s=-1$. また, $s^2=t$ より $t=1$.

以上より, $$ (s, t)=(2, 1),\,(-1, 1) $$

最終更新日：2011年11月02日