$a$, $b$, $c$, $d$ を実数とし, $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $s=a+d$, $t=ad-bc$ とする. $A^2=E$ であるとき, 次の問いに答えよ.
(i) 等式 $sA-(t+1)E=O$ を証明せよ.
(ii) $s$, $t$ の値を求めよ.
解答例 1
(i) ハミルトン・ケーリーの定理より $$ A^2-sA+tE=O. $$ $A^2=E$ より, $$ E-sA+tE=O, \quad\mbox{ゆえに},\quad sA-(t+1)E=O. $$
(ii) $s\neq 0$ のとき, $\displaystyle k=\frac{t+1}{s}$ とおくと, (i) より $A=kE$. 両辺を $2$ 乗すると, $A^2=k^2E$. これと $A^2=E$ より, $$ (k^2-1)E=O, \quad\mbox{よって}, \quad k^2-1=0, \quad\mbox{ゆえに}, \quad k=\pm 1. $$ よって, $A=\pm E$. すなわち, $a=d=\pm 1$, $b=c=0$. ゆえに, $s=a+d=\pm 2$, $t=ad-bc=1$.
$s=0$ のとき, (i) より $(t+1)E=O$. よって, $t+1=0$. ゆえに, $t=-1$.
以上より, $$ (s,t)=(\pm 2,1),\,(0,-1). $$
最終更新日：2011年11月02日