$\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{$x$ が有理数のとき} \\ 0, & \mbox{$x$ が無理数のとき} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は各点において不連続であることを証明せよ.
解答例 1
$a$ を実数とする. $a$ に収束する有理数列 $(x_n)$ および無理数列 $(y_n)$ は構成できる. そのとき, 全ての番号 $n$ に対して $f(x_n)=1$, $f(y_n)=0$ であるから, $$ f(x_n)\to 1,\quad f(y_n)\to 0\quad (n\to\infty) $$ が成り立つ. ゆえに, $x\to a$ のとき $f(x)$ は極限をもたない. したがって, $f(x)$ は $x=a$ において連続ではない.
最終更新日：2011年11月02日