解答例 1

$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $X$ を $K$ 上のベクトル空間とし, 実数値関数 $\varphi:X\rightarrow\mathbb{R}$ が定義されているものとする. $x\in S$ の $\varphi$ による像 $\varphi(x)$ を $\lVert{x}\rVert$ と書くことにする. これについて以下の条件が成り立つとき, $\varphi=\lVert{*}\rVert$ を $X$ 上のノルムといい, $X$ と $\lVert{*}\rVert$ との組 $(X, \lVert{*}\rVert)$ をノルム空間という.

(i) 任意の $x\in X$ に対して, $$ \lVert{x}\rVert\geq 0. $$

(ii) 任意の $x\in X$ に対して, $$ \lVert{x}\rVert\geq 0 \Longleftrightarrow x=0. $$

(iii) 任意の $x\in X$, $a\in K$ に対して, $$ \lVert{ax}\rVert = \lvert{a}\rvert\lVert{x}\rVert. $$

(iv) 任意の $x$, $y\in X$ に対して, $$ \lVert{x+y}\rVert\leq \lVert{x}\rVert + \lVert{y}\rVert. $$ これを三角不等式という.

ノルム $\lVert{*}\rVert$ を明示しなくても誤解のないときは, $X$ をノルム空間という.

$(X, \lVert{*}\rVert)$ をノルム空間とするとき, 各 $x\in X$ に対して, $\lVert{x}\rVert$ を $x$ のノルムという.

最終更新日：2011年11月02日