解答例 1

$X$ を弧状連結な位相空間とする. $X$ が連結でないと仮定すると, $X$ のある開集合 $U$, $V$ が存在して, \begin{equation} X = U\cup V,\quad U\cap V=\emptyset,\quad U\neq\emptyset,\quad V\neq\emptyset. \tag{1} \end{equation} 後半の2条件より, ある $u\in U$, $v\in V$ が存在する. $X$ は弧状連結だから, 連続写像 $f:[0, 1]\rightarrow X$ で $f(0)=u$, $f(1)=v$ を満たすものが存在する. このとき, $f^{-1}(U)$, $f^{-1}(V)$ は $[0, 1]$ の開集合である. また, (1) の前半の2条件より, \begin{align*} & f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V) = f^{-1}(U\cup V) = f^{-1}(X) = [0, 1], \\ & f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V) = f^{-1}(U\cap V) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset. \end{align*} さらに, $0 \in f^{-1}(U)$, $1\in f^{-1}(V)$ より $f^{-1}(U)\neq\emptyset$, $f^{-1}(V)\neq\emptyset$. これは $[0, 1]$ が連結であることに矛盾する. したがって, $X$ は連結でなければならない.

最終更新日：2011年11月02日