解答例 1

まず, 写像 $f:\mathbb{R}\rightarrow (-1, 1)$ を $$ f(x) = \frac{x}{1+\lvert x\rvert} $$ によって定義すると, $f$ は連続であり, 逆写像 $$ f^{-1}(x) = \frac{x}{1-\lvert x\rvert} $$ もまた連続である. ゆえに, $f$ は同相写像である.

次に, 写像 $g:(-1, 1)\rightarrow (a, b)$ を $$ g(x) = \frac{b-a}{2}(x+1) + a $$ によって定義すると, $g$ は連続であり, 逆写像 $$ g^{-1}(x) = \frac{2}{b-a}(x-a) - 1 $$ もまた連続である. ゆえに, $g$ は同相写像である.

2つの同相写像 $f$, $g$ の合成写像 $g\circ f:\mathbb{R}\rightarrow (a, b)$ もまた同相写像である. したがって, $(a, b)$ は $\mathbb{R}$ と同相である.

最終更新日：2011年11月02日