$n$ を正の整数, $p$ を素数とするとき, $n$ の階乗 $n!$ の $p$ 指数は \begin{equation} \sum_{e=0}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^{e}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^{2}}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^{3}}\right\rfloor + \cdots \tag{$*$} \end{equation} に等しいことを証明せよ.
解答例 1
$p^{e}>n$ を満たす $e$ に対しては $\displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p^{e}}\right\rfloor=0$ であるから, ($*$) は有限和である.
$n!$ の因数 $1$, $2$, $\ldots$, $n$ の中で, $p$ の倍数は $$ \begin{array}{lllll} p, & 2p, & 3p, & \ldots, & \displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor\cdot p \end{array} $$ の $\displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor$ 個である. また, $p^{2}$ の倍数は $$ \begin{array}{lllll} p^{2}, & 2p^{2}, & 3p^{2}, & \ldots, & \displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p^{2}}\right\rfloor\cdot p^{2} \end{array} $$ の $\displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p^{2}}\right\rfloor$ 個である. 一般に, $p^e$ の倍数は $$ \begin{array}{lllll} p^{e}, & 2p^{e}, & 3p^{e}, & \ldots, & \displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p^{e}}\right\rfloor\cdot p^{e} \end{array} $$ の $\displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p^{e}}\right\rfloor$ 個である. すべての $e$ について $\displaystyle\left\lfloor\frac{n}{p^{e}}\right\rfloor$ を加えると, $n!$ の因数で $p$ 指数が $e$ なるものについてはちょうど $e$ 回重複して数えることになって, ($*$) は $n!$ の素因数として現れる $p$ の個数に一致する. これはまさに $n!$ の $p$ 指数である.
最終更新日：2011年11月02日