$R$ を環とする. 任意の $0$ でない $R$ の元 $x$ に対して, $R$ のある元 $y$ が存在して, $xy=1$ が成り立つとする. このとき, $R$ は斜体であることを証明せよ.
解答例 1
$x$ を $R$ の $0$ でない元とする. 問題の仮定より, ある $y\in R$ が存在して, $xy=1$. 再び問題の仮定より, $y$ に対して, ある $z\in R$ が存在して, $yz=1$. このとき, $$ yx = yx(yz) = y(xy)z = yz = 1. $$ ゆえに, $xy=yx=1$. したがって, $R$ の乗法に関する $x$ の逆元が存在する. すなわち, $x$ は $R$ の単元である. $0$ 以外の任意の元 $x$ が単元であるから, $R$ は斜体である.
最終更新日：2011年11月02日