解答例 1

$1$ を $R$ の単位元, $1'$ を $R'$ の単位元とする. $S$ は $R$ の部分環だから, $1\in S$. このとき, $$ 1' = f(1) \in f(S). $$ 特に, $f(S)\neq\emptyset$.

$y_{1}$, $y_{2}\in f(S)$ とする. \begin{align*} y_{1} &= f(x_{1}),\quad x_{1}\in S, \\ y_{2} &= f(x_{2}),\quad x_{2}\in S \end{align*} と表すと, $f$ が準同型であることとと $S$ が $R$ の部分環であることから, \begin{align*} y_{1}-y_{2} &= f(x_{1}) - f(x_{2}) = f(x_{1}-x_{2})\in f(S), \\ y_{1}y_{2} &= f(x_{1})f(x_{2}) = f(x_{1}x_{2})\in f(S). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日