解答例 1

$m$, $n\in\mathbb{Z}$ とする. \begin{align*} f(m+n) &= (m+n) \cdot 1_{R} \\ &= m\cdot 1_{R}+n\cdot 1_{R} \\ &= f(m) + f(n). \\ f(1) &= 1\cdot 1_{R} = 1_{R}. \end{align*} また, 任意の $a$, $b\in R$ に対して, \begin{align*} (ma)(nb) &= \left(\sum_{i=1}^{m}a\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b\right) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}ab \\ &= (mn)(ab). \end{align*} 特に, $a=b=1_{R}$ のとき, $$ (m\cdot 1_{R})(n\cdot 1_{R}) = (mn)(1_{R}\cdot 1_{R}) = mn\cdot 1_{R}. $$ ゆえに, \begin{align*} f(mn) &= mn\cdot 1_{R} = mn\cdot 1_{R} \\ &= f(m)f(n). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日