$R$ を環, $Z(R)$ を $R$ の中心とする. 各 $a\in R$ に対し, $$ C(a) = \{x\in R\mid xa = ax\} $$ とおく. このとき, $$ Z(R) = \bigcap_{a\in R}C(a) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$Z(R) = \{a\in R\mid ax = xa\,(\forall x\in R)\}$ であるから, $$ Z(R)\subseteq C(a)\quad (\forall a\in R). $$ したがって, $$ Z(R)\subseteq \bigcap_{a\in R}C(a). $$ 逆に, $\displaystyle x\in\bigcap_{a\in R}C(a)$ とすると, $$ x\in C(a)\quad (\forall a\in R). $$ よって, $$ xa = ax\quad (\forall a\in R). $$ ゆえに, $x\in Z(R)$. したがって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日